用多线程证明 Gödel Incompleteness 是否搞错了什么

1 Sep 2023

前言
一阶逻辑
Gödel 不完备性定理
可判定性
对 Gödel 不完备定理的证明
不可判定性证明
- 利用 Church 的结果
- 利用 Kleene 的结果
与 Gödel 原始证明的比较
延伸阅读
参考文献

WARNING

本文不是严格的学术论文，可能存在一些错漏之处，见谅。

§前言

Kurt Gödel 的几个著名定理构成了现代逻辑学的基石。其中，Gödel （第一和第二）不完备性定理更是为人所称道。

一直以来，包括笔者在内的很多人，都觉得 Gödel 不完备性定理的证明十分繁琐，有非常复杂的技术细节，所以学习起来相当吃力。在 2023 年的 ∞-type Café 暑期学校上，ocau 老师给出了一个非常优雅和简洁的综合 Gödel 不完备性定理证明讲座。这个讲座让我意识到，Gödel 不完备性定理其实与可计算性，或者说递归论有着极为密切的联系。

在这篇文章中，我将结合自己对 Gödel 不完备性定理的理解，介绍一个最简单（也许不严格的）Gödel 不完备性定理证明，力图使得普通程序员在学习了简单的一阶逻辑后也能理解。

§一阶逻辑

一阶逻辑（First order logic, FOL）是本文所讨论的逻辑系统。一阶逻辑有语法层面和语义层面，如果读者没有在学校里学过一阶逻辑，那么可以这么理解：

一阶逻辑是一种语言，和我们常见的编程语言类似，它有一套形式化的语法（Syntax）
- 一阶逻辑的“语句”，可以被看作一个语法树（Abstract Syntax Tree），或者是一个代数数据类型（ADT）
- 这个语法树有两层，一层是“命题”（Statement），一层是“表达式”（Expression）
- 表达式层包括变量、函数（调用）等等， $x$ , $f(x)$ , $g(x, y)$ 都是表达式
- 命题层由表达式构成，表达式用等号或关系拼起来构成命题，比如 $f(x_1) = f(x_2)$ , $P(x_1, f(x_2))$
- 命题之间可以用逻辑连接词连接起来，表达特定的含义，比如 $f(x_1) = f(x_2) \land P(x_1, f(x_2))$ 也是一个命题。这样的逻辑连接词还有 $\rightarrow$ , $\lor$ , $\neg$
- 命题内的自由变量（free variable）用量词绑定，可以得到新的命题。比如 $\forall x_1 \exists x_2. f(x_1) = f(x_2)$
一阶逻辑这种语言，需要规定其语义，这是通过模型（Model）实现的。相关的内容比较复杂，暂时不做讨论。
一阶逻辑有很多证明系统，比如 Hilbert System，这些证明系统和语义是独立的。简单来说，一个证明系统可以通过“计算”给出 $\Gamma \vdash \psi$ 这样的命题 ¹，其中 $\Gamma$ 代表一个命题的集合，也就是一堆命题， $\psi$ 代表需要证明的命题。
当我们使用一阶逻辑的时候，我们使用的是一阶理论（Theory）. 一个一阶理论由符号表 $S$ 和公理集合 $T$ 构成。符号表规定了所有在命题中可能出现的符号，包括常量、函数符号、关系符号三者；公理集合规定了在这个理论中不证自明的命题，它们是证明系统证明的起点²。例如，著名的 Peano 算术数就可以作为一个一阶理论，它的符号表有：
- 常量符号 $0$
- 函数符号 $+$
- 函数符号 $\times$
- 函数符号 $S$ （表示后继）
- 关系符号 $\le$

对一阶逻辑的介绍，我们就进行到这里。一阶逻辑有非常丰富的数学性质，这是数理逻辑课程的主要讨论对象。如果读者在阅读本文的过程中感到了不适，那么不妨找一本靠谱的数理逻辑书籍，比如 [1, 2] 等等，学习一下相关知识。

§Gödel 不完备性定理

完备性是一个一阶理论的性质。一个一阶理论 $T$ 是完备的，就是说：

对任意由该理论符号集合构造的命题 $\psi$ ，要么 $T \vdash \psi$ ，要么 $T \vdash \neg \psi$

换句话说，在这个理论里的任何命题，要么能被证明，要么能被证否。

注意到这是一个纯语法概念，它似乎需要指定一个特定的证明系统。不过，各种一阶逻辑的证明系统，如果没有特别构造，那么在证明能力上都是等价的。又因为 Gödel 完备性定理的存在， $T \vDash \psi$ 当且仅当 $T \vdash \psi$ ，所以这实际上也是语义概念。这样一来，我们一般不需要指定一个证明系统。在 Gödel 不完备性定理的形式化 [3] 中，这种指定才有可能是必要的。

对于一个一阶理论，我们当然期望它是完备的。例如在 Peano 算术中，以下符合直觉的命题可以被证明：

$\forall n. n \le S(n)$
$\forall n_1, n_2 . n_1 + n_2 = n_2 + n_1$

而相应地，直觉不成立的命题可以被证否。

如果一阶理论足够简单，不完备性是很容易达成的。例如考虑一个符号表为 $\{ c, e \}$ ，公理为 $\emptyset$ 的一阶理论 $A$ ，显然有：

$A \not\vdash c = e$
$A \not\vdash c \neq e$

直观上看，这是因为理论的公理集太少了。在 $A$ 里加入一条公理（这往往被叫做“扩张”，extension） $c = e$ ，就能让 $A$ 变为一个完备的理论。

对于任何理论 $T$ ，如果 $\psi$ 在这个理论中既不能证明，又不能证否（称之为 $\psi$ 独立于 $T$ ），那么把 $\psi$ 或 $\neg \psi$ 加入 $T$ 的公理，就可以消除这种不完备性。

这似乎揭示了一个美好的图景：我们可以把整个数学建立在某种完备的一阶理论上，在这个终极理论中，任何命题要么能证明，要么能证否。这样一来，模糊、混乱的数学语言就完全可以被清晰、整洁的一阶逻辑所替代……

令人失望的是，1931 年，Gödel 在其发表的论文 Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I [13] 中证明了，只要一个形式系统 $T$ 包含初等算术³，那么在其中就一定有既不能证明，也不能证否的命题。注意，加公理是没有任何用处的，因为加入公理后，不完备性定理的前件仍然满足，仍然可以推导出后件。⁴

这等于是给我们上面想象的美好图景判了死刑。当然，我们是程序员，不是数学家，这和我们有什么关系呢？

§可判定性

在 Gödel 于 1931 年发表论文之后，Church 和 Turing 于 1936-1937 年分别提出了关于一阶逻辑的另一重大问题–可判定性的否定证明。

前文已经说过了，一阶逻辑的命题可以被看作一个语法树（或字符串），而一阶理论又是符号表和公理集合，在某些条件下（比如下文要讲的可递归公理化），这都可以看成程序里的数据。

显然我们会问：有没有一个程序 $\texttt{p}$ ，判断一个命题 $\psi$ 是否可以在 $T$ 内被证明？

这个问题的回答是否定的：没有这样的程序。证明的方法我们留到下文再谈。这个事实是稍有些反直觉的，因为一个公理系统中的证明，理论上来讲，是可以枚举的。

怎么枚举呢？考虑 Peano 算术和 Hilbert 系统。Peano 算术的公理中，归纳公理是无穷多的，但它有固定模式：

\begin{aligned} \forall \vec{y_k}. (& (\varphi(0, \vec{y_k})\ \land \\ & (\varphi(x, \vec{y_k}) \rightarrow \varphi(S(x), \vec{y_k}))) \\ & \rightarrow \forall x. \varphi(x, \vec{y_k})) \end{aligned}

这里需要枚举的就是 $k$ 和 $\varphi$ . $k$ 自不必说， $\varphi$ 是所有的谓词，它的语法也是确定的，可以用固定的规则产生。不过，直接写一个 gen 函数还是相当复杂的。我们这里可以借鉴 Gödel 的做法。

首先，Peano 算术的符号集是无限的，但我们可以分为两个区域：

十个逻辑符号（经过简化后）
无限个变量符号（记作 $v_0$ , $v_1$ , $v_2$ , …）

把这两个区域的符号按照先后顺序进行编码，可以给出编码和解码函数。编码函数将符号映射为自然数，解码函数把自然数映射为符号。

1# put '∀' to 1 , instead of 0
2LOGIC_SYM = [ 'dummy', '∀', '0', 'S', '+', '×', '(', ')', '¬', '→', '=' ]
3
4def decode(n):
5    if n <= len(LOGIC_SYM):
6        return LOGIC_SYM[n]
7    else:
8        # append '$' to variable head
9        return f"$v_{n - len(LOGIC_SYM)}"
10
11def encode(sym):
12    if sym[0] == '$':
13        # is variable, start with '$'
14        index = sym[3:]
15        return int(index) + len(LOGIC_SYM)
16    elif sym in LOGIC_SYM and sym != 'dummy':
17        return LOGIN_SYM.index(sym)
18    else:
19        # error
20        return -1

类似地，一个命题（也就是字符串，字符的列表）也可以进行编码和解码。Gödel 用的技术是这样的：

\sharp [ a_1, a_2, a_3, ..., a_n ] = p_1^{\sharp a_1} \times p_2^{\sharp a_2} \times \cdots \times p_n^{\sharp a_n}

其中，这里的 $\sharp a_i$ 表示我们刚才定义的 encode(aᵢ). 而 $p_i$ 表示第 $i$ 个质数

1from sympy import nextprime, Pow, factorint
2
3def encode_str(stmt):
4    pᵢ = 2
5    res = 1
6    for aᵢ in stmt:
7        res *= Pow(pᵢ, encode(aᵢ))
8        pᵢ = nextprime(pᵢ)
9    return res
10
11def decode_str(n):
12    """
13    n must be of form `Πᵢ pᵢ^{aᵢ}, aᵢ ≠ 0`, or this function is undefined
14    """
15    res = []
16    factors = factorint(n)
17    # factors is like { pᵢ : aᵢ }
18    for pᵢ, aᵢ in sorted(factors.items()):
19        res.append(decode(aᵢ))
20    return res

decode_str 的值域包括了所有的字符串。这样一来，对字符串的遍历就可以用对自然数的遍历实现。

一个字符串可能不是一个合法的命题。所以，还需要一个判断字符串是否是合法命题的函数。只要有了这个函数，就可以枚举所有的命题：

1def is_valid_stmt(stmt):
2    # this function is hard to write
3    pass
4
5def gen_all_stmts():
6    n = 0
7    while True:
8        stmt = decode_str(n)
9        if is_valid_stmt(stmt):
10            # do something here
11        n += 1

函数 is_valid_stmt 类似于编程语言的 parser，虽然写起来比较困难，但肯定是可以写出来的。

类似地，我们可以枚举所有的证明（也就是一个命题列表），进而构造一个函数判断一个命题是否可以被证明：

1def is_valid_proof(stmt_l):
2    pass
3
4def encode_proof(proof):
5    # like encode_str()
6    pass
7
8def decode_proof(n):
9    pass
10
11def can_prove(ψ):
12    n = 0
13    while True:
14        stmt_l = decode_proof(n)
15        if is_valid_proof(stmt_l):
16            stmt_last = stmt_l[-1]
17            if stmt_last == ψ:
18                return True
19        n += 1

对程序 can_prove ，有以下观察：

如果列表的最后一个就是要证明的 $\psi$ ，那么显然， $T \vdash \psi$ 是成立的。
我们的枚举遍历了所有的证明，所以，如果 $T \vdash \psi$ ，也就是存在一个符合要求的证明，那么那个证明一定会被找到。
如果 $T \not\vdash \psi$ ，这个算法根本不会停机，它会一直循环下去。

这与停机问题的情况非常类似，在可计算性理论中被称为“半可判定性”（semi-decidable）. 半可判定性是我们下面的证明中所用到的核心概念，值得仔细讨论一下。

一个集合⁵ $S$ 是半可判定的，当且仅当存在一个程序 $\texttt{p}$ ，使得对于所有的 $e \in S$ , $\texttt{p}(e) = \texttt{True}$ .

半可判定的关键是，它没有讨论当 $e \not\in S$ 时程序是否停机。虽然如果 $\texttt{p}(e) = \texttt{True}$ ，也就是程序输出 $\texttt{True}$ 的时候，根据当且仅当， $e \in S$ . 但如果输入 $e_1 \not\in S$ ， $\texttt{p}(e)$ 是否停机在定义中是没有提及的。所以，可判定的集合一定是半可判定的集合，而半可判定的集合却不一定是可判定的集合。

停机问题是半可判定的，不是可判定的

证明很简单，半可判定性存在的那个程序构造如下：

1def p(prog, x):
2    exec(prog, x)
3    return True

如果 prog(x) 停机，那么解释器 exec(prog, x) 也停机。

半可判定性有几个等价定义：

递归可枚举（recursively enumerable, r.e.）。一个集合 $S$ 是递归可枚举的，当且仅当 $S = \emptyset$ 或存在一个递归全函数 $f$ ，使得 $S = \{ y\ |\ \exists x. f(x) = y \}$ ，也就是说， $S$ 是 $f$ 的值域.
$S$ 的部分特征函数是部分递归的.
$S$ 是某个部分递归函数的值域.

什么是“部分函数”（partial function）呢？简单来说，就是在某些输入上没定义的函数。一个在某些输入不停机的程序，其“像”，也就是 $\{ (x, y)\ |\ x \in A, \texttt{p}(x) = y \}$ 就是一个部分函数。

这些等价性需要证明，可以参考 [1, 5].

is_valid_stmt 和 is_valid_proof 的构造，要求存在一个算法判断一个字符串在不在公理集中。这对公理集提出了要求。事实上，Gödel 不完备性定理的条件中，就有公理集合需要是递归集的要求，递归集与可判定是等价的，它在半可判定的要求上加入了对任何输入都要停机的限制。

§对 Gödel 不完备定理的证明

我们已经知道了，至少对于 Peano 算术 $\mathsf{PA}$ 来说， $\mathsf{PA} \vdash \psi$ 的问题是半可判定的。根据这个结果和一点小小的编程技巧，我们立刻可以得到 Gödel 不完备性定理。

首先假设 $\mathsf{PA}$ 是完备的，也就是说对任意的 $\psi$ ， $\mathsf{PA} \vdash \psi$ 或 $\mathsf{PA} \vdash \neg \psi$ . 记 $\mathsf{PA}$ 的半可判器为 $\texttt{p}$ ，可以构造一个 $\mathsf{PA}$ 的判定器 $\texttt{p\_total}$ . 构造如下：

1from multiprocessing.pool import ThreadPool
2
3def can_prove_input(ψ):
4    can_prove(ψ)
5    return ψ
6
7def p_total(ψ):
8    pool = ThreadPool(processes=2)
9    result = pool.apply_async(can_prove_input, (ψ, ¬ψ))
10    which = result.get()
11    if which == ψ:
12        return True
13    else:
14        return False

没想到吧，这个程序的关键居然在于并发！并发的另一个名字叫做“非确定性计算”，其实，我这里只是想用这种方法模拟非确定性计算而已。（也就是“同时”计算 can_prove_input(ψ) 和 can_prove_input(¬ψ)）

仔细分析一下 $\texttt{p\_total}$ ，考虑完备性，分情况讨论：

如果 $\mathsf{PA} \vdash \psi$ ，那么 can_prove_input(ψ) 就会停机，result.get() 返回 ψ，所以整个函数返回 True. 注意，这时 can_prove_input(¬ψ) 不会停机，所以 result.get() 一定会返回 ψ.
如果 $\mathsf{PA} \vdash \neg\psi$ ，那么 can_prove_input(¬ψ) 就会停机，result.get() 返回 ¬ψ，整个函数返回 False. 根据 $\mathsf{PA}$ 的一致性，这时 $\mathsf{PA} \not\vdash \psi$ .

所以， $\texttt{p\_total}$ 是一个 $\mathsf{PA} \vdash \psi$ 的判定器。这样一来 $\mathsf{PA}$ 就是可判定的，这与不可判定的结果是矛盾的。所以，假设不成立， $\mathsf{PA}$ 不是完备的。

读者可能不太服气：这不是耍赖吗？ Gödel 哪里知道什么多线程？事实上，非确定性图灵机和确定性图灵机是等价的，多线程也可以用单线程模拟。不过，我们仍然可以给出一个比较“正常”的 $\texttt{p\_total}$ .

1def can_prove_n(ψ, n):
2    n0 = 0
3    while n0 <= n:
4        stmt_l = decode_proof(n0)
5        if is_valid_proof(stmt_l):
6            stmt_last = stmt_l[-1]
7            if stmt_last == ψ:
8                return True
9        n += 1
10    return False
11
12def p_total(ψ):
13    n = 0
14    while True:
15        if can_prove_n(ψ, n):
16            return True
17        elif can_prove_n(¬ψ, n):
18            return False
19        
20        n += 1

这里，我们把原来的 can_prove(ψ) 改成了 can_prove_n(ψ, n)，也就是在 $n$ 步之内是否可以证明 $\psi$ . 这样一来，can_prove_n(ψ, n) 就一定停机，所以可以在 p_total 里直接调用 can_prove_n 做顺序计算.

§不可判定性证明

从上面的讨论中，我们可以看到：

虽然半可判定性要写一个比较繁杂的程序，但总体是直觉的
有了半可判定性和不可判定性，可以直接得到 Gödel 不完备性定理

问题的关键就成了如何得到 $\mathsf{PA}$ 的不可判定性。本文并不会严格地给出证明，而是简单介绍一下证明的思路。

§利用 Church 的结果

要证明不可判定性，我们必须引入一个比较复杂的概念–可表示性（representability）。Gödel 本人似乎没有直接使用这个概念 [4]，而是用了它的一个等价形式。

Church 在 1936 年的论文 [11] 里首次证明了存在一个不可判定的问题（虽然有些学者不太满意他的证明），这个问题是：

给定 $a, b \in \Lambda^{\circ}$ ， $a \approx_{\beta} b$ 是否成立？

其中， $\Lambda^{\circ}$ 指的是“封闭的 lambda 项”， $\approx_{\beta}$ 指的是 β-等价关系，大概就是说， $a$ 和 $b$ 之间有一条 $\beta$ 规约和 $\beta$ 抽象构成的路径。他的文章进一步指出，任何 ω-一致性的系统都无法构造判定器。[11, 12]

如果要沿用 Church 的证明，那么，我们首先需要把 $\approx_{\beta}$ 算术化。这也就是说，要找到一个整数上的关系 $P$ ，使得 $P(\sharp M, \sharp N)$ 当且仅当 $M \approx_{\beta} N$ ，其中 $\sharp$ 表示编码。我们显然需要 $P$ 有一些良好的表示，因为我们下面要找到一个 $\mathsf{PA}$ 中的句子 $\mathsf{P(x, y)}$ 使得对任意的 $n_1, n_2$

\begin{aligned} P(n_1, n_2) &\rightarrow \mathsf{PA \vdash P(n_1, n_2)} \\ \neg P(n_1, n_2)& \rightarrow \mathsf{PA \vdash \neg P(n_1, n_2)} \end{aligned}

$\mathsf{P(n_1, n_2)}$ 里的 $\mathsf{n_1}$ ，指的是元语言里的自然数 $n_1$ 在 $\mathsf{PA}$ 里对应的符号串，也就是

\underbrace{S S S \cdots S}_{n_1 个}\ 0

$\mathsf{P(x, y)}$ 是一个确定的、含有两个自由变量的 $\mathsf{PA}$ 句子。这样一来：

假设 $\mathsf{PA}$ 是可判定的，对于任何的 $a, b \in \Lambda^{\circ}$ ，
在判定器 $\texttt{p}$ 中输入 $\varphi = \mathsf{P(\sharp a, \sharp b)}$ ，$\psi = \mathsf{\neg P(\sharp a, \sharp b)} $
返回 $\texttt{p}(\varphi)$

显然，这个程序判定了 Church 证明为不可判定的问题。实际上，如果 $P$ 在 $T$ 中可表示，那么 $P$ 的判定问题就可以规约到 $T$ 的可判定性。

然而，想找到 $\mathsf{P}$ ，我个人觉得是很麻烦的工作。

§利用 Kleene 的结果

Gödel 在 1931 年的论文中，证明了原始递归函数都是可表示的。关于函数的可表示性，教材 [1] 和材料 [9] 的说法不太一样，材料 [9] 把函数的可表示性和关系的可表示性等同了。我们暂时后者的说法⁶，一个函数 $f$ 是可表示的，当且仅当存在一个 $\mathsf{P}$ ，使得

\begin{aligned} f(\vec{m}) = n \rightarrow T &\vdash \mathsf{P(\vec{m}, n)} \\ f(\vec{m}) \neq n \rightarrow T &\vdash \mathsf{\neg P(\vec{m}, n)} \end{aligned}

Kleene 证明了范式定理：

存在一个三元原始递归函数 $C(x, y, z)$ 和一个一元原始递归函数 $U(x)$ ，使得任意的部分递归函数 $f$ 在 $e$ 值给定时可以表示为：
$f(n) = U(\mu z[C(e, n, z)])$

这个定理看起来挺费解的，其实，它描述的是一个类似于解释器的系统：

1def U(x):
2    # some calculation 
3    pass
4
5def C(e, y, z):
6    # some calculation
7    pass
8
9def μ(f):
10    n = 0
11    while f(n) != 0:
12        n += 1
13    return n
14
15def f(n):
16    return n * 2
17
18def f_another(n):
19    # note: e may not be 10, we just use a fixed value here
20    return U(μ(lambda z: C(10, n, n)))
21
22# ∀ n, f(n) == f_anthor(n)

这里的 $e$ 大概可以理解为程序（递归函数）被编码之后的结果，通过这个定理，Kleene 用对角线方法证明了下面的定理：

不是每个部分递归函数都是潜在递归（potentially recursive）的

所谓的“潜在递归”，就是说，对于部分递归函数 $g$ ，存在一个全函数 $f$ ，使得在 $g$ 有定义的地方， $f(n) = g(n)$ . 直觉上来看，这个定理类似于“不是所有的半可判定集都是可判定的”。

现在我们假设存在一个 $T$ 的判定器 $\texttt{p\_t}$ ，根据 Gödel 的证明，存在一个公式 $\mathsf{C(e, n, z, t)}$ 表示了 $C(e, n, z)$ . 那么，可以构造一个新的超级解释器，它能给所有的部分递归函数 $g$ 都找到对应的全函数 $f$ . 考虑任意的 $g$ ，其 $e$ 值为 $e_1$ ，构造 $f$ 如下：

1def f(n):
2    if p_t(∀ z. ¬C(e₁, n, z, 0)):
3        # g(n) can never halt
4        # return a random value, doesn't matter
5        return 0
6    else:
7        # g(n) will halt
8        # return g(n)
9        return U(μ(lambda z: C(e₁, n, z)))

Kleene 的定理保证了， $g$ 唯一不停机的方式就是 $\forall z. C(e_1, n, z) \neq 0$ . 所以，因为 $C$ 本身是可以在 $T$ 里表示的原始递归函数，一旦 $T$ 可判定，对于任意 $n$ ， $g(n)$ 是否停机就是可判定的。

§与 Gödel 原始证明的比较

Gödel 的原始证明 [1, 13] 相当复杂，大概可以概括为：

证明所有的原始递归函数是可表示的。
将一阶逻辑和初等算术的语法用原始递归函数算术化，我们这里通过写 can_prove_n(ψ, n) 解决；Gödel 则是定义了初等递归函数，并且定义了对应的初等递归关系。他写了 45 个递归关系，最终定义了可证明性（著名的 Bew）。
由于 Bew 是原始递归关系，所以是可表示的。这样一来，能找到一个公式 $\mathsf{P(\sharp\psi)}$ 表示它。
Gödel 证明了不动点定理：对任意的一元公式 $\psi(x)$ ，都能找到一个语句 $\sigma$ ，使得 $T \vdash \sigma \leftrightarrow \psi(\mathsf{\sharp\sigma})$ .
所以，存在 $\sigma$ 使得 $T \vdash \sigma \leftrightarrow \neg \mathsf{P(\sharp \sigma)}$ ，注意，这个句子构造了类似于说谎者悖论的命题。
利用 ω-完备性，无论假设 $T \vdash \sigma$ 还是 $T \vdash \neg \sigma$ ，都会得到矛盾。这样一来， $\sigma$ 和 $T$ 就是独立的。

可见，我们的证明没有避免 1. 和 2.，而这是最复杂的步骤。不过，半可判定性直觉理解起来比较简单，如果把它当前提，那么证明会非常简短。1. 和 2. 其实都是为了证明半可判定性引入的。

§延伸阅读

如果你想学习 Gödel 的原始证明，那么请直接阅读 [1] 或 Gödel 的原始论文 [13]. 杨睿之老师的书写得非常好。
这种证明的思路最早似乎来源于 Kleene，可以参考他的著作 [10] 和这份笔记 [9].
这篇文章 [4] 也用这种思路介绍不完备性定理
ocau 老师的 Agda 形式化值得参考，不过他讲课的视频没有公开（原因不明）。他的思路可能来源于这份 Coq 形式化的工作 [6]，可以直接阅读这篇论文作为替代。
一个 Gödel 不完备性定理的完全 Coq 形式化 [3]（上面的论文是综合式的，和这里讨论的有比较大的区别）
有两本关于 Gödel 不完备性定理的书 [2, 8] 写得都还不错，可以选部分章节阅读。
关于递归函数相关的知识，可以参考 [1, 10] 和宋老师的 [7]. 类似地，可计算性相关的概念可以参考 [5]

§前言